Упр.5 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости.

Подробный ответ

Пусть через точку $$A$$ проходят две прямые, перпендикулярные плоскости $$\alpha$$, и пересекают её в точках $$B$$ и $$C$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB \perp \alpha$$ и $$AC \perp \alpha$$, то обе прямые перпендикулярны любой прямой плоскости $$\alpha$$, проходящей через точки $$B$$ и $$C$$ соответственно. В частности, углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ прямые:

$$\angle ABC=90^\circ,\qquad \angle ACB=90^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-90^\circ=0^\circ.$$

Это возможно только в случае, если точки $$B$$ и $$C$$ совпадают. Значит, прямые $$AB$$ и $$AC$$ совпадают.

Следовательно, через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости $$\alpha$$.