Упр.5 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой $$a$$, и прямая $$b$$, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются.

Пусть прямая $$b$$ лежит в плоскости $$\beta$$ и пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$M$$. Тогда точка $$M$$ принадлежит обеим плоскостям, то есть является их общей точкой.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$, то по аксиоме стереометрии прямая их пересечения проходит через любую общую точку этих плоскостей. Следовательно, $$M \in a$$.

Но по условию $$M \in b$$. Значит, точка $$M$$ принадлежит и прямой $$a$$, и прямой $$b$$, то есть эти прямые пересекаются.

Ответ: $$a$$ и $$b$$ пересекаются.