Упр.5 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 5. Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами а и b, проведенную из вершины прямого угла.

Пусть $$\angle C=90^\circ$$, тогда катеты треугольника равны $$CA=a$$ и $$CB=b$$, а гипотенуза:

$$AB=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Обозначим биссектрису угла $$C$$ через $$CM$$. Для биссектрисы треугольника используем формулу:

$$CM=\frac{\sqrt{ab\left((a+b)^2-AB^2\right)}}{a+b}.$$

Подставим $$AB^2=a^2+b^2$$:

$$ CM=\frac{\sqrt{ab\left((a+b)^2-(a^2+b^2)\right)}}{a+b} $$

$$ CM=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2\right)}}{a+b} =\frac{\sqrt{ab\cdot 2ab}}{a+b} =\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}. $$

Ответ

$$\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$$