Упр.5 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$b$$, проведённую из вершины прямого угла.

Пусть $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, $$CA=a$$, $$CB=b$$. Нужно найти длину биссектрисы $$CM$$, проведённой из вершины прямого угла.

Для биссектрисы треугольника используем формулу:

$$CM=\frac{\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}}{a+b},$$

где $$c=AB$$ — гипотенуза треугольника. По теореме Пифагора

$$c^2=a^2+b^2.$$

Тогда

$$CM=\frac{\sqrt{ab\left((a+b)^2-(a^2+b^2)\right)}}{a+b} =\frac{\sqrt{ab\left(a^2+2ab+b^2-a^2-b^2\right)}}{a+b}.$$

Упростим выражение под корнем:

$$CM=\frac{\sqrt{ab\cdot 2ab}}{a+b} =\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}.$$

Ответ: $$\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$$.