Упр.49 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром $$a$$.

Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, поэтому центр описанного шара лежит на его оси. Обозначим этот центр через $$O$$, а основание тетраэдра — через $$ABC$$, вершину — через $$D$$.

Пусть $$O_1$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда

$$O_1C=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Проведём высоту тетраэдра $$DO_1$$. Она пересекает поверхность шара в точке $$M$$, причём $$DM$$ — диаметр шара, так как центр шара $$O$$ лежит на отрезке $$DM$$.

Так как $$DM$$ — диаметр, то $$\angle DCM=90^\circ$$. Следовательно, треугольник $$DCM$$ прямоугольный, а $$CO_1$$ — его высота.

В прямоугольном треугольнике $$DO_1C$$:

$$DO_1=\sqrt{DC^2-O_1C^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} =a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Тогда

$$DM=\frac{DC^2}{DO_1} =\frac{a^2}{a\sqrt{\frac{2}{3}}} =\frac{a\sqrt{6}}{2}.$$

Радиус шара равен половине диаметра:

$$R=\frac{DM}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt{6}}{4}$$.