Упр.49 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основание пирамиды — квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна $$20\ \text{дм}$$, а высота $$21\ \text{дм}$$ (рис. 121).

Пусть основание пирамиды $$ABCD$$ — квадрат, а высота $$SB=21$$ дм проходит через вершину $$B$$. Тогда $$AB=BC=CD=DA=20$$ дм.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AB\perp BC$$ и $$BC\perp CD$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$AS\perp AD,\qquad CS\perp CD.$$

Найдём площади боковых граней.

Треугольники $$ASB$$ и $$CSB$$ прямоугольные, поэтому

$$S_{ABS}=S_{CBS}=\frac12\cdot AB\cdot SB=\frac12\cdot 20\cdot 21=210\ \text{дм}^2.$$

В прямоугольном треугольнике $$ASB$$:

$$AS=\sqrt{AB^2+SB^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\ \text{дм}.$$

Так как $$AS=CS$$, то треугольники $$ASD$$ и $$CSD$$ равны, и их площади равны:

$$S_{ASD}=S_{CSD}=\frac12\cdot AD\cdot AS=\frac12\cdot 20\cdot 29=290\ \text{дм}^2.$$

Тогда боковая поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=2S_{ABS}+2S_{ASD}=2\cdot 210+2\cdot 290=1000\ \text{дм}^2.$$

Ответ: $$1000\ \text{дм}^2$$.