Упр.48 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Постройте треугольник по его двум углам и периметру.

Пусть требуется построить треугольник с углами $$\alpha$$ и $$\beta$$ и периметром $$P$$.

1) Сначала построим произвольный треугольник $$ABC$$ с заданными углами $$\alpha$$ и $$\beta$$. Для этого проведём произвольный отрезок $$AC$$, а через его концы — лучи, образующие с ним углы $$\alpha$$ и $$\beta$$. Точку их пересечения обозначим буквой $$B$$.

2) Развернём периметр треугольника в прямую: на произвольном луче отложим последовательно отрезки, равные $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$. Получим отрезок длины $$AB+BC+CA$$.

3) Найдём коэффициент гомотетии:

$$k=\frac{P}{AB+BC+CA}$$

4) На луче $$AB$$ отложим отрезок $$AD=k\cdot AB$$, на луче $$AC$$ — отрезок $$AE=k\cdot AC$$.

5) Соединим точки $$D$$ и $$E$$. Тогда треугольник $$ADE$$ — искомый, так как он получен из треугольника $$ABC$$ гомотетией с коэффициентом $$k$$, а значит, подобен ему. Его углы равны заданным $$\alpha$$ и $$\beta$$, а периметр равен

$$P_{ADE}=k(AB+BC+CA)=P.$$

Ответ

Построение выполнено с помощью гомотетии: сначала строится произвольный треугольник с углами $$\alpha$$ и $$\beta$$, затем он увеличивается или уменьшается в $$k=\dfrac{P}{AB+BC+CA}$$ раз.