Упр.48 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Постройте треугольник по его двум углам и периметру.

Пусть сначала построен произвольный треугольник $$ABC$$ с углами $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Проведём через точку $$A$$ лучи, образующие с отрезком $$AC$$ углы $$\alpha$$ и $$\beta$$, и получим точку $$B$$ на одном из них. Аналогично на другом луче отметим точку $$C$$. Затем на прямой отложим от произвольной точки $$A’$$ последовательно отрезки, равные $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$. Получим отрезок длины $$AB+BC+CA$$.

Теперь найдём коэффициент гомотетии:

$$k=\frac{P}{AB+BC+CA}.$$

На луче $$AB$$ отложим отрезок $$AD$$, равный $$k\cdot AB$$, а на луче $$AC$$ — отрезок $$AE$$, равный $$k\cdot AC$$. Соединим точки $$D$$ и $$E$$.

Тогда $$\triangle ADE$$ — искомый, так как он получается из $$\triangle ABC$$ гомотетией с коэффициентом $$k$$, а значит, имеет те же углы $$\alpha$$ и $$\beta$$, а его периметр равен

$$P’ = k(AB+BC+CA)=P.$$

Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет условию задачи.