Упр.48 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
Пусть $$O$$ — центр шара, вписанного в правильную пирамиду. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OA$$ на плоскость основания пирамиды.
Возьмём произвольную точку $$X$$ касания шара с боковой гранью пирамиды и проведём в этой грани перпендикуляр $$XM$$ к прямой $$OA$$, где $$M \in OA$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OXM$$ по теореме Пифагора
$$XM=\sqrt{OX^2-OM^2}=\sqrt{R^2-OM^2},$$
где $$R$$ — радиус шара.
Так как $$R$$ и $$OM$$ постоянны, то длина $$XM$$ не зависит от выбора точки касания $$X$$. Значит, точка $$M$$ равноудалена от всех сторон соответствующего сечения пирамиды плоскостью, проходящей через $$OA$$ и перпендикулярной боковым рёбрам. Следовательно, $$M$$ — центр окружности, вписанной в это сечение.
Но в правильной пирамиде центр такого сечения лежит на высоте пирамиды. Следовательно, и центр шара $$O$$ лежит на высоте пирамиды.
Ответ: центр шара лежит на высоте правильной пирамиды.
