Упр.48 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами $$40\ \text{см}$$, $$25\ \text{см}$$ и $$25\ \text{см}$$. Его высота проходит через вершину угла, противолежащего стороне $$40\ \text{см}$$, и равна $$8\ \text{см}$$. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Подробный ответ

Проведём в основании пирамиды высоту $$AK\perp BC.$$ Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DK\perp BC,$$ где $$D$$ — вершина пирамиды, а $$DK$$ — высота боковой грани к стороне $$BC.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=AC=25\text{ см},$$ то высота $$AK$$ является также медианой. Следовательно,

$$KC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 40=20\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACK$$ находим:

$$AK=\sqrt{AC^2-KC^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=15\text{ см}.$$

Высота пирамиды проходит через вершину $$A$$ и равна $$8\text{ см},$$ значит $$AD=8\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADK$$:

$$DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=17\text{ см}.$$

Площади боковых граней:

$$S_{ADC}=S_{ADB}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 25=100\text{ см}^2,$$

$$S_{DBC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot DK=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 17=340\text{ см}^2.$$

Тогда боковая поверхность пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=S_{ADC}+S_{ADB}+S_{DBC}=100+100+340=540\text{ см}^2.$$