Упр.48 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 48. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.

Пусть $$E$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$CE$$ — медиана равностороннего треугольника $$ABC$$, а значит, и его высота.

В прямоугольном треугольнике $$CEB$$ имеем:

$$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Тогда

$$ CE=\sqrt{CB^2-EB^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CE =\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость, образующую с её плоскостью угол $$\varphi$$, равна

$$S=S_{ABC}\cos\varphi.$$

Тогда:

1) при $$\varphi=30^\circ$$

$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 30^\circ =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{3a^2}{8}; $$

2) при $$\varphi=45^\circ$$

$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 45^\circ =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{a^2\sqrt{6}}{8}; $$

3) при $$\varphi=60^\circ$$

$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \cos 60^\circ =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{2} =\frac{a^2\sqrt{3}}{8}. $$

Ответ

$$\frac{3a^2}{8};\ \frac{a^2\sqrt{6}}{8};\ \frac{a^2\sqrt{3}}{8}.$$