Упр.48 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Дан равносторонний треугольник со стороной $$a$$. Найдите площадь его ортогональной проекции на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный:
- $$30^\circ$$;
- $$45^\circ$$;
- $$60^\circ$$.
Пусть $$E$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда $$CE$$ — медиана и высота равностороннего треугольника $$ABC$$.
В прямоугольном треугольнике $$CEB$$ имеем
$$EB=\frac12 AB=\frac a2,$$
по теореме Пифагора
$$CE=\sqrt{CB^2-EB^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Тогда площадь треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CE=\frac12\cdot a\cdot \frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$
Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на другую плоскость равна площади исходной фигуры, умноженной на $$\cos\varphi$$, где $$\varphi$$ — угол между плоскостями. Поэтому
$$S_{\text{пр}}=S_{ABC}\cos\varphi.$$
1) При $$\varphi=30^\circ$$:
$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \cos 30^\circ=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{3a^2}{8}.$$
2) При $$\varphi=45^\circ$$:
$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \cos 45^\circ=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{a^2\sqrt6}{8}.$$
3) При $$\varphi=60^\circ$$:
$$S_{\text{пр}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \cos 60^\circ=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \frac12=\frac{a^2\sqrt3}{8}.$$
Ответ: $$\frac{3a^2}{8};\ \frac{a^2\sqrt6}{8};\ \frac{a^2\sqrt3}{8}.$$
