Упр.48 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-48. Из вершины равностороннего треугольника $$ABC$$ восставлен перпендикуляр $$AD$$ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$, если $$AD=13\text{ см}$$, $$BC=6\text{ см}$$.

Проведём в плоскости треугольника $$ABC$$ прямую $$AK \perp BC$$, а через точку $$D$$ — прямую $$DK \perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DK$$ и есть искомое расстояние от точки $$D$$ до стороны $$BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AK$$ — одновременно высота и медиана. Значит,

$$BK=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$:

$$AK=\sqrt{AB^2-BK^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAK$$, где $$AD \perp$ плоскости$$ABC$$, значит$$AD \perp AK$$. Тогда

$$
DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{13^2+27}=\sqrt{196}=14\text{ см}.
$$

Ответ:$$14\text{ см}$$.