Упр.47 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 8-47. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.

Пусть $$O$$ — центр полукруга, а $$AB$$ — его диаметр. При сворачивании полукруга в конус точки $$A$$ и $$B$$ соединяются, поэтому $$OA$$ — образующая конуса, а дуга $$AB$$ становится длиной окружности основания.

Обозначим радиус полукруга через $$R$$. Тогда

$$l=OA=R,$$

а длина дуги полукруга равна

$$AB=\frac12\cdot 2\pi R=\pi R.$$

В осевом сечении конуса получаем треугольник $$AOC$$, где $$AO=OC=l=R$$, а радиус основания $$r$$ удовлетворяет равенству

$$2\pi r=\pi R,$$

откуда

$$r=\frac{R}{2}.$$

Пусть $$H$$ — основание высоты конуса. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOH$$

$$\sin \angle AOH=\frac{AH}{AO}=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle AOH=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.