Упр.47 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

7-47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усечённой треугольной пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$S$$ — вершина полной правильной треугольной пирамиды, а $$A_1B_1C_1$$ и $$ABC$$ — её верхнее и нижнее основания. Обозначим через $$O_1$$ и $$O$$ центры вписанных окружностей этих правильных треугольников.

Тогда $$SO \perp$$ плоскости основания, а отрезок $$O_1O$$ лежит на высоте пирамиды. Для правильного треугольника со стороной $$x$$ радиус вписанной окружности равен

$$r=\frac{x\sqrt{3}}{6}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad r_1=\frac{b\sqrt{3}}{6}.$$

Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной ребру нижнего основания. Тогда линейный угол двугранного угла при этом ребре равен $$\alpha$$, а в прямоугольном треугольнике получаем

$$\tan \alpha=\frac{h}{O_1O}.$$

При этом

$$O_1O=r-r_1=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6},$$

значит высота усечённой пирамиды

$$h=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tan \alpha.$$

Площадь оснований:

$$S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \qquad S_2=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}.$$

Объём усечённой пирамиды находим по формуле

$$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$

Подставим найденные значения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tan \alpha \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\right).$$

Так как

$$\sqrt{S_1S_2}=\frac{ab\sqrt{3}}{4},$$

то

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tan \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2) =\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{24}\tan \alpha.$$

Используем формулу разности кубов:

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$$

Тогда

$$V=\frac{(a^3-b^3)\tan \alpha}{24}.$$

Ответ: $$\frac{(a^3-b^3)\tan \alpha}{24}$$.