Упр.47 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.

Подробный ответ

Достроим усечённую пирамиду до полной с вершиной $$S$$. Проведём $$SO \perp$$ плоскости нижнего основания. Тогда точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры вписанных окружностей оснований.

Пусть $$M$$ и $$M_1$$ — точки касания стороны основания с вписанными окружностями, тогда $$OM \perp AB$$ и $$O_1M_1 \perp A_1B_1$$, следовательно, $$OM=r$$, $$O_1M_1=r_1$$.

Так как основания — правильные треугольники, то

$$S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \qquad S_2=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}.$$

Радиусы вписанных окружностей правильных треугольников равны

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}, \qquad r_1=\frac{b\sqrt{3}}{6}.$$

Линейный угол двугранного угла при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$, значит

$$\angle M_1MO=\alpha.$$

Опустим из точки $$M_1$$ перпендикуляр $$M_1K$$ на $$MO$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle M_1MK$$

$$MK=MO-KO=MO-M_1O_1=r-r_1=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды

$$h=M_1K=MK\cdot \tg\alpha=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tg\alpha.$$

Теперь воспользуемся формулой объёма усечённой пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$

Подставим найденные значения:

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tg\alpha \cdot \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{b^2\sqrt{3}}{4}\right). $$

Так как

$$\sqrt{S_1S_2}=\frac{ab\sqrt{3}}{4},$$

то

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{6}\tg\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2) =\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{24}\tg\alpha. $$

Используем формулу разности кубов:

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3. $$

Тогда

$$V=\frac{(a^3-b^3)\tg\alpha}{24}.$$