Упр.47 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В шар вписана правильная пирамида. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на её оси.

Опустим перпендикуляр $$OA$$ из центра шара $$O$$ на плоскость основания пирамиды.

Пусть $$X$$ — произвольная вершина основания пирамиды. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OAX$$ по теореме Пифагора

$$AX^2=OX^2-OA^2=R^2-OA^2,$$

где $$R$$ — радиус шара. Значит, длина $$AX$$ одинакова для любой вершины основания.

Следовательно, точка $$A$$ равноудалена от всех вершин основания, то есть является центром окружности, описанной около основания пирамиды. В правильной пирамиде прямая, проходящая через вершину пирамиды и центр основания, является осью пирамиды. Так как $$O$$ лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через центр $$A$$, то центр шара $$O$$ лежит на оси пирамиды.