Упр.47 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основание пирамиды — ромб с диагоналями $$6\ \text{м}$$ и $$8\ \text{м}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна $$1\ \text{м}$$. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба, а $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, опущенных из $$O$$ на стороны $$AD$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда $$OM \perp AD$$, $$OK \perp CD$$.

Так как $$ABCD$$ — ромб, то его диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=\frac{AC}{2}=4,\qquad BO=\frac{BD}{2}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOD$$ имеем

$$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$

Площадь треугольника $$AOD$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AOD}=\frac12 AO\cdot OD=\frac12 AD\cdot OM.$$

Отсюда

$$OM=\frac{AO\cdot OD}{AD}=\frac{4\cdot 3}{5}=2{,}4.$$

По теореме о трёх перпендикулярах $$SM\perp AD$$ и $$SK\perp CD$$, а так как в ромбе $$AD=CD$$, то соответствующие наклонные равны, значит $$SM=SK$$.

В прямоугольном треугольнике $$SOM$$:

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{1^2+2{,}4^2}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6.$$

Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей четырёх равных треугольников, поэтому