Упр.47 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$, а $S$ — вершина пирамиды. Тогда $$AC=8\text{ м},\quad BD=6\text{ м},\quad SO=1\text{ м}.$$

Проведём в основании высоты $$OM\perp AD,\quad OK\perp CD.$$

Так как $ABCD$ — ромб, то его диагонали делятся пополам, значит

$$AO=CO=\frac{AC}{2}=4\text{ м},\qquad BO=DO=\frac{BD}{2}=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $AOD$:

$$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ м}.$$

Найдём высоту $OM$ треугольника $AOD$ к стороне $AD$:

$$S_{AOD}=\frac12 AO\cdot OD=\frac12 AD\cdot OM,$$

откуда

$$OM=\frac{AO\cdot OD}{AD}=\frac{4\cdot 3}{5}=2{,}4\text{ м}.$$

По теореме о трёх перпендикулярах $$SM\perp AD,\quad SK\perp CD,$$ а так как в ромбе $AD=CD$, то соответствующие наклонные равны, следовательно $$SM=SK.$$

В прямоугольном треугольнике $SOM$:

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{1^2+2{,}4^2}=\sqrt{6{,}76}=2{,}6\text{ м}.$$

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырёх равных треугольников, поэтому

$$S_{\text{бок}}=2S_{SAD}+2S_{SDC}=2\cdot \frac12 AD\cdot SM+2\cdot \frac12 CD\cdot SK.$$

Так как $AD=CD$ и $SM=SK$, получаем

$$S_{\text{бок}}=2\cdot AD\cdot SM=2\cdot 5\cdot 2{,}6=26\text{ м}^2.$$