Упр.47 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Катеты прямоугольного треугольника равны $$7\ \text{м}$$ и $$24\ \text{м}$$. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол $$30^\circ$$ с плоскостью треугольника.

Обозначим через $$CD$$ расстояние от вершины прямого угла $$C$$ до плоскости $$\alpha$$, а через $$CE$$ — высоту треугольника $$ABC$$, опущенную на гипотенузу $$AB$$.

Так как плоскость $$\alpha$$ проходит через $$AB$$ и составляет с плоскостью треугольника угол $$30^\circ$$, то угол между прямой $$CE$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$30^\circ$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$CED$$ имеем

$$CD=CE\sin 30^\circ.$$

Найдём сначала $$AB$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25.$$

Теперь найдём высоту $$CE$$ из площади прямоугольного треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CE,$$

откуда

$$CE=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{24\cdot 7}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72.$$

Тогда

$$CD=6{,}72\cdot \sin 30^\circ=6{,}72\cdot \frac12=3{,}36.$$

Ответ: $$3{,}36\ \text{м}$$.