Упр.47 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.

Подробный ответ

Обозначим через $$CD$$ расстояние от вершины $$C$$ до плоскости $$\alpha$$, а через $$CE$$ — высоту треугольника $$ABC$$, опущенную на гипотенузу $$AB$$. Тогда прямая $$CE$$ лежит в плоскости треугольника, а угол между плоскостями равен углу между их следами, поэтому $$\angle CED=30^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25\text{ м}. $$

Найдём высоту $$CE$$ из площади треугольника:

$$ S_{ABC}=\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CE, $$
откуда
$$ CE=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{24\cdot 7}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72\text{ м}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CED$$. Тогда

$$ CD=CE\sin\angle CED=6{,}72\cdot \sin 30^\circ=6{,}72\cdot \frac12=3{,}36\text{ м}. $$