Упр.47 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно $$1{,}1\ \text{м}$$, а до каждой из его сторон — $$6{,}1\ \text{м}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть $$O$$ — центр окружности, вписанной в треугольник, а $$A$$ — точка касания одной из его сторон. Тогда $$OA$$ — радиус вписанной окружности, то есть $$OA=r$$.

Так как расстояние от точки $$S$$ до плоскости треугольника равно $$1{,}1$$ м, то $$SO=1{,}1$$ м. Расстояние от точки $$S$$ до каждой стороны треугольника равно $$6{,}1$$ м, значит для точки $$A$$ имеем $$SA=6{,}1$$ м.

Треугольник $$SAO$$ прямоугольный, так как $$SO \perp$$ плоскости треугольника, а значит $$SO \perp OA$$. По теореме Пифагора:

$$OA=\sqrt{SA^2-SO^2}$$
$$r=\sqrt{6{,}1^2-1{,}1^2}=\sqrt{37{,}21-1{,}21}=\sqrt{36}=6$$

Ответ: $$6$$ м.