Упр.47 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон — 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр окружности, вписанной в треугольник. Тогда расстояния от точки $$S$$ до всех сторон треугольника равны:

$$SA=SB=SC=6{,}1\text{ м}.$$

Пусть $$SO$$ — расстояние от точки $$S$$ до плоскости треугольника. По условию

$$SO=1{,}1\text{ м}.$$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то радиус этой окружности равен расстоянию от $$O$$ до любой стороны треугольника, например

$$r=OA.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$: отрезок $$SO$$ перпендикулярен плоскости треугольника, значит $$SO \perp OA$$. Тогда по теореме Пифагора

$$ SA^2=SO^2+OA^2 $$

откуда

$$ r=OA=\sqrt{SA^2-SO^2}=\sqrt{6{,}1^2-1{,}1^2}. $$

Вычислим:

$$ r=\sqrt{37{,}21-1{,}21}=\sqrt{36}=6. $$