Упр.46 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Впишите в данный равнобедренный треугольник прямоугольник со сторонами, относящимися как $$1:3$$, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — произвольная точка на стороне $$AB$$. Через $$P$$ проведём перпендикуляр $$PS$$ к стороне $$AC$$ и построим прямоугольник $$PQRS$$ так, чтобы $$PQ:PR=3:1$$.

Проведём луч $$AQ$$ и обозначим через $$Q_1$$ точку его пересечения со стороной $$BC$$. Через $$P_1$$ проведём прямую $$P_1Q_1 \parallel PQ$$, через $$R_1$$ — прямую $$Q_1R_1 \parallel QR$$, а через $$S_1$$ — прямую $$P_1S_1 \parallel PS$$.

Тогда четырёхугольник $$P_1Q_1R_1S_1$$ — искомый прямоугольник со сторонами, относящимися как $$1:3$$, так как он получен из прямоугольника $$PQRS$$ гомотетией с центром в точке $$A$$ и коэффициентом

$$k=\frac{AQ}{AQ_1}.$$

Кроме того, возможно и второе решение, когда $$PQ=\frac13\,PR$$.

Ответ: искомый прямоугольник строится указанным способом; существует два варианта, соответствующие отношениям сторон $$1:3$$ и $$3:1$$.