Упр.46 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Впишите в данный равнобедренный треугольник прямоугольник со сторонами, относящимися как 1 : 3, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание — $$AC$$. Построим прямоугольник так, чтобы его нижняя сторона лежала на $$AC$$, а верхние вершины лежали на боковых сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

1) Возьмём произвольную точку $$P$$ на стороне $$AB$$.

2) Через точку $$P$$ проведём перпендикуляр $$PS$$ к стороне $$AC$$ и построим прямоугольник $$PQRS$$ так, чтобы $$PQ:PR=3:1$$, то есть $$PQ=3PR$$.

3) Проведём луч $$AQ$$ и обозначим через $$Q_1$$ точку пересечения этого луча со стороной $$BC$$.

4) Через точки $$P_1$$ и $$R_1$$ проведём прямые, параллельные соответственно $$PQ$$ и $$QR$$, а через точку $$S_1$$ — прямую, параллельную $$PS$$.

Тогда четырёхугольник $$P_1Q_1S_1R_1$$ будет искомым прямоугольником со сторонами, относящимися как $$1:3$$, так как он получается из прямоугольника $$PQRS$$ гомотетией с центром в точке $$A$$.

Коэффициент гомотетии равен

$$k=\frac{AQ}{AQ_1}.$$

Следовательно, построенный прямоугольник вписан в треугольник $$ABC$$: две его вершины лежат на основании $$AC$$, а две другие — на боковых сторонах $$AB$$ и $$BC$$.

Возможен и второй вариант построения, если взять $$PQ=\frac{1}{3}PR$$.

Ответ

Искомый прямоугольник строится с помощью гомотетии: сначала строится прямоугольник со сторонами $$1:3$$ у стороны $$AB$$, затем его образ при гомотетии с центром в $$A$$ даёт прямоугольник, вписанный в $$\triangle ABC$$.