Упр.46 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 8-46. Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
Рассмотрим осевое сечение равностороннего конуса. Это равносторонний треугольник $$\triangle ABC$$, в котором $$AB$$ — диаметр основания, а $$CH$$ — высота конуса, причём $$CH \perp AB$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то высота делит сторону пополам, значит
$$R=\frac{AB}{2}, \qquad l=AB,$$
где $$R$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — его образующая.
Тогда полная поверхность конуса равна
$$S_{\text{кон}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}} =\pi Rl+\pi R^2 =\pi\cdot \frac{AB}{2}\cdot AB+\pi\cdot \frac{AB^2}{4} =\frac{3\pi AB^2}{4}.$$
Найдём поверхность шара. По условию диаметр шара равен высоте конуса, а в равностороннем треугольнике
$$CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно, радиус шара
$$r=\frac{CH}{2}=\frac{AB\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда площадь поверхности шара:
$$S_{\text{шара}}=4\pi r^2 =4\pi\left(\frac{AB\sqrt{3}}{4}\right)^2 =4\pi\cdot \frac{3AB^2}{16} =\frac{3\pi AB^2}{4}.$$
Итак,
$$S_{\text{кон}}=S_{\text{шара}},$$
что и требовалось доказать.
