Упр.46 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-46. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны $$a$$ и $$b$$, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$. Найдите объём пирамиды.

Основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды — квадраты, поэтому

$$S_1=a^2,\qquad S_2=b^2.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её ось и перпендикулярной ребру основания. В этом сечении получаем равнобедренную трапецию, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$.

Пусть $$BH$$ — высота трапеции. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BHA$$

$$AH=\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a-b}{2},$$

и потому

$$h=BH=AH\cdot \tg\alpha=\frac{a-b}{2}\tg\alpha.$$

Объём усечённой пирамиды находим по формуле

$$V=\frac13h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$

Подставим найденные значения:

$$V=\frac13\cdot \frac{a-b}{2}\tg\alpha\cdot \left(a^2+ab+b^2\right) =\frac16(a-b)(a^2+ab+b^2)\tg\alpha.$$

Так как $$\,(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,$$ то

$$V=\frac16\left(a^3-b^3\right)\tg\alpha.$$

Ответ: $$\frac16\left(a^3-b^3\right)\tg\alpha.$$