Упр.46 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и b, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды — квадраты, поэтому их площади равны

$$S_1=a^2,\qquad S_2=b^2.$$

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её ось и параллельной ребру основания. В этом сечении получаем равнобедренную трапецию, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен $$\alpha$$.

Проведём высоту $$BH$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BHA$$

$$AH=AO_1-HO_1=AO_1-BO=\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=\frac{a-b}{2}.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды

$$h=OO_1=BH=AH\cdot \tg\alpha=\frac{a-b}{2}\tg\alpha.$$

Объём усечённой пирамиды найдём по формуле

$$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$

Подставим найденные значения:

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a-b}{2}\tg\alpha \cdot \left(a^2+\sqrt{a^2b^2}+b^2\right) =\frac{1}{6}(a-b)(a^2+ab+b^2)\tg\alpha. $$

Так как

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3, $$

то

$$V=\frac{1}{6}(a^3-b^3)\tg\alpha.$$