Упр.46 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, значит

$$AO=CO,\quad BO=DO.$$

Высота пирамиды $$SO$$ проходит через точку $$O$$, поэтому треугольники $$AOS$$, $$BOS$$, $$COS$$ и $$DOS$$ прямоугольные.

Найдём сначала половину диагонали $$BD$$:

$$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$DOS$$

$$DS=\sqrt{SO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Теперь найдём диагональ $$AC$$ параллелограмма. Для параллелограмма выполняется формула

$$2AB^2+2AD^2=BD^2+AC^2.$$

Подставим данные:

$$AC^2=2\cdot 3^2+2\cdot 7^2-6^2=18+98-36=80,$$

откуда

$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$

Так как $$AO=\dfrac{1}{2}AC$$, то

$$AO=\frac{1}{2}\sqrt{80}=\sqrt{20}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOS$$

$$AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{4^2+20}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$

Следовательно, боковые рёбра пирамиды равны $$5\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$.

Ответ

$$5\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$.