Упр.46 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны $$3\ \text{см}$$ и $$7\ \text{см}$$, а одна из диагоналей $$6\ \text{см}$$; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна $$4\ \text{см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — середина обеих диагоналей, значит
$$BO=DO,\qquad AO=CO.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BOS$$ и $$\triangle DOS$$. У них общий катет $$SO=4$$ см, а также $$BO=DO$$, поэтому
$$BS=DS.$$
Найдём $$DO$$. Так как $$BD=6$$ см, то
$$DO=\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle DOS$$
$$DS=\sqrt{SO^2+DO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$
Теперь найдём вторую диагональ параллелограмма. Для параллелограмма верно:
$$2AB^2+2AD^2=BD^2+AC^2.$$
Подставим данные:
$$AC^2=2\cdot 3^2+2\cdot 7^2-6^2=18+98-36=80,$$
значит
$$AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ см}.$$
Тогда
$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{80}}{2}=\sqrt{20}\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$\triangle AOS$$
$$AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{4^2+20}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$
Так как $$BS=DS$$, а $$DS=5$$ см, то
$$BS=5\text{ см}.$$
Ответ: $$5$$ см и $$6$$ см.
