Упр.46 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Равнобедренные треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ с общим основанием $$AB$$ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен $$\alpha$$. Найдите $$\cos\alpha$$, если:
- $$AB=24\text{ см}$$, $$AC=13\text{ см}$$, $$AD=37\text{ см}$$, $$CD=35\text{ см}$$;
- $$AB=32\text{ м}$$, $$AC=65\text{ м}$$, $$AD=20\text{ м}$$, $$CD=63\text{ м}$$.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются медианами к основаниям, а значит, и высотами.
Тогда угол между плоскостями треугольников равен углу $$\angle CED=\alpha$$, и можно найти его по теореме косинусов в треугольнике $$CED$$.
$$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 24=12\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{37^2-12^2}=\sqrt{1369-144}=35\text{ см}.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$CED$$:
$$\cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{5^2+35^2-35^2}{2\cdot 5\cdot 35} =\frac{1}{14}.$$
$$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 32=16\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{4225-256}=63\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AED$$:
$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=12\text{ м}.$$
По теореме косинусов в треугольнике $$CED$$:
$$\cos\alpha=\frac{CE^2+DE^2-CD^2}{2\cdot CE\cdot DE} =\frac{63^2+12^2-63^2}{2\cdot 63\cdot 12} =\frac{2}{21}.$$
Ответ: $$\frac{1}{14};\ \frac{2}{21}$$.
