Упр.46 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: K плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр вписанной окружности, а через $$S$$ — конец перпендикуляра, проведённого к плоскости треугольника. Тогда $$SO \perp (MNK)$$, значит $$SO \perp OA$$, $$SO \perp OB$$ и $$SO \perp OC$$.

Так как $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$ — радиусы вписанной окружности, то $$OA=OB=OC=r=0{,}7\text{ м}$$.

По теореме о трёх перпендикулярах отрезки $$SA$$, $$SB$$ и $$SC$$ перпендикулярны соответственно сторонам треугольника, поэтому они равны расстояниям от точки $$S$$ до сторон $$MN$$, $$NK$$ и $$MK$$. Кроме того, эти расстояния одинаковы:

$$SA=SB=SC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. По теореме Пифагора:

$$ SA=\sqrt{SO^2+OA^2} =\sqrt{2{,}4^2+0{,}7^2} =\sqrt{5{,}76+0{,}49} =\sqrt{6{,}25} =2{,}5\text{ м}. $$

Следовательно, расстояние от конца перпендикуляра до каждой стороны треугольника равно $$2{,}5\text{ м}$$.