Упр.45 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной из сторон треугольника, а две остальные — на двух других его сторонах.

Отметим произвольную точку $$P$$ на стороне $$AB$$.

Через точку $$P$$ проведём перпендикуляр к стороне $$AC$$ и обозначим точку пересечения с $$AC$$ через $$R$$. Построим квадрат $$PQRS$$ со стороной $$PR$$.

Проведём луч $$AQ$$ и обозначим через $$Q_1$$ точку его пересечения со стороной $$BC$$.

Через точки $$P_1, Q_1, R_1, S_1$$ проведём прямые, параллельные соответственно сторонам квадрата $$PQRS$$:

$$P_1Q_1 \parallel PQ,\qquad Q_1R_1 \parallel QR,\qquad P_1S_1 \parallel PS.$$

Тогда четырёхугольник $$P_1Q_1R_1S_1$$ — квадрат, так как он получен из квадрата $$PQRS$$ гомотетией с центром в точке $$A$$ и коэффициентом

$$k=\frac{AQ}{AQ_1}.$$

Следовательно, искомый квадрат построен: две его вершины лежат на стороне $$AC$$, а две другие — на сторонах $$AB$$ и $$BC$$.