Упр.45 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении правильный треугольник)?

Рассмотрим осевое сечение конуса. Так как конус равносторонний, то осевое сечение $$\triangle ABC$$ — равносторонний, значит

$$AC=CB=l=a,$$

а радиус основания равен половине стороны основания:

$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.$$

Найдём площади поверхностей конуса.

Боковая поверхность:

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl=\pi\cdot \frac{a}{2}\cdot a=\frac{\pi a^2}{2}.$$

Площадь основания:

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}.$$

Тогда полная поверхность равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}=\frac{\pi a^2}{2}+\frac{\pi a^2}{4}=\frac{3\pi a^2}{4}.$$

Искомое отношение:

$$S_{\text{бок}}:S_{\text{полн}}=\frac{\pi a^2}{2}:\frac{3\pi a^2}{4}=2:3.$$

Ответ: $$2:3$$.