Упр.45 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Рассмотрим общее диаметральное сечение шаров. Линия пересечения их поверхностей в этом сечении является окружностью.

Обозначим через $$A$$ точку пересечения окружностей сечения, а через $$H$$ — центр искомой окружности. Тогда $$AH \perp OO_1$$, где $$O$$ и $$O_1$$ — центры шаров.

Рассмотрим треугольник $$OO_1A$$. Его стороны равны:

$$OO_1=36\text{ дм},\quad OA=25\text{ дм},\quad O_1A=29\text{ дм}.$$

Найдём площадь этого треугольника по формуле Герона:

$$p=\frac{25+29+36}{2}=45$$
$$S=\sqrt{p(p-25)(p-29)(p-36)} =\sqrt{45\cdot 20\cdot 16\cdot 9} =360\text{ дм}^2$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}\cdot OO_1\cdot AH$$

откуда

$$AH=\frac{2S}{OO_1}=\frac{2\cdot 360}{36}=20\text{ дм}.$$

Искомая линия пересечения — окружность радиуса $$20$$ дм, поэтому её длина равна

$$l=2\pi AH=2\pi\cdot 20=40\pi\text{ дм}=4\pi\text{ м}.$$

Ответ: $$4\pi\text{ м}$$.