Упр.45 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$. Все двугранные углы при основании пирамиды равны $$60^\circ$$. Найдите высоту пирамиды.

Пусть $$DO$$ — высота пирамиды, а $$O$$ — её основание на плоскости $$ABC$$. Проведём в гранях перпендикуляры $$DK \perp BC$$, $$DM \perp AC$$, $$DN \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$OK \perp BC,\quad OM \perp AC,\quad ON \perp AB.$$

Линейные углы двугранных углов при основании равны $$60^\circ$$, значит

$$\angle DKO=\angle DMO=\angle DNO=60^\circ.$$

Треугольники $$DKO$$, $$DMO$$ и $$DNO$$ прямоугольные, у них общий катет $$DO$$ и острые углы равны, поэтому они равны. Следовательно,

$$OK=OM=ON.$$

Значит, точка $$O$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, а расстояние от неё до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $$r$$.

Найдём $$r$$ для прямоугольного треугольника $$ABC$$ с катетами $$6$$ см и $$8$$ см:

$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10,$$
$$S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot 6\cdot 8=24,$$
$$p=\frac{6+8+10}{2}=12,$$
$$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DMO$$. В нём

$$\angle DMO=60^\circ,\quad OM=r=2\text{ см}.$$

Тогда

$$DO=OM\cdot \tan 60^\circ=2\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$2\sqrt{3}\text{ см}.$$