Упр.45 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Bce двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите высоту пирамиды.
Опустим перпендикуляр $$DO$$ к плоскости основания пирамиды. Из точки $$O$$ опустим перпендикуляры $$DK,\ DM,\ DN$$ к рёбрам $$BC,\ AC,\ AB$$ соответственно.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$OK \perp BC,\quad OM \perp AC,\quad ON \perp AB.$$
Так как все двугранные углы при основании равны $$60^\circ$$, то
$$\angle DKO=\angle DMO=\angle DNO=60^\circ.$$
Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle DKO$$, $$\triangle DMO$$ и $$\triangle DNO$$ равны по катету и острому углу. Следовательно,
$$OM=OK=ON.$$
Значит, точка $$O$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, а расстояние от неё до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности.
Найдём этот радиус. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:
$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot 6\cdot 8=24.$$
Полупериметр:
$$p=\frac{6+8+10}{2}=12.$$
Тогда радиус вписанной окружности:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2.$$
В прямоугольном треугольнике $$DMO$$:
$$SO=MO\cdot \tg 60^\circ=r\sqrt{3}=2\sqrt{3}.$$
Следовательно, высота пирамиды равна $$2\sqrt{3}$$ см.
Ответ
$$2\sqrt{3}\text{ см}$$