Упр.45 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол $$60^\circ$$. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника — 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Тогда в равнобедренных треугольниках $$ABC$$ и $$ABD$$ отрезки $$CE$$ и $$DE$$ являются медианами, высотами и биссектрисами.
Так как $$AB=16$$ м, то
$$AE=BE=\frac{1}{2}AB=8\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ACE$$:
$$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DEB$$ угол при $$D$$ равен $$45^\circ$$, поэтому
$$DE=EB=8\text{ м}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$CED$$. Возможны два случая.
Если $$\angle CED=60^\circ$$, то по теореме косинусов
$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 60^\circ$$
$$CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \frac12=169,$$
значит, $$CD=13\text{ м}.$$
Если $$\angle CED=180^\circ-60^\circ=120^\circ$$, то
$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos 120^\circ$$
$$CD^2=15^2+8^2-2\cdot 15\cdot 8\cdot \left(-\frac12\right)=409,$$
значит, $$CD=\sqrt{409}\text{ м}.$$
Ответ: $$13\text{ м};\ \sqrt{409}\text{ м}.$$
