Упр.45 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон данного треугольника.
Пусть $$A,$$ $$B$$ и $$C$$ — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, а $$S$$ — произвольная точка прямой $$OS,$$ где $$OS \perp$$ плоскости треугольника.
Так как $$OA$$ — радиус окружности, то $$OA \perp$$ стороне треугольника, касательной в точке $$A$$. По теореме о трёх перпендикулярах из этого следует, что $$SA \perp$$ этой стороне. Значит, $$SA$$ есть расстояние от точки $$S$$ до данной стороны треугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SAO$$. По теореме Пифагора
$$SA=\sqrt{OA^2+OS^2}=\sqrt{r^2+OS^2}.$$
Аналогично получаем
$$SB=\sqrt{OB^2+OS^2}=\sqrt{r^2+OS^2}, \qquad SC=\sqrt{OC^2+OS^2}=\sqrt{r^2+OS^2}.$$
Следовательно,
$$SA=SB=SC,$$
то есть каждая точка прямой $$OS$$ равноудалена от сторон данного треугольника.
