Упр.44 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите геометрическое место точек, которые делят в отношении $$m:n$$ все хорды, имеющие своим общим концом данную точку окружности.

Пусть дана окружность с точкой $$A$$ на ней. Проведём диаметр $$AB$$ и возьмём на нём точку $$C$$ так, чтобы

$$AC:CB=m:n.$$

Проведём окружность с диаметром $$AC$$. Докажем, что она и есть искомое геометрическое место точек.

Возьмём произвольную хорду $$AE$$ данной окружности и обозначим через $$D$$ точку пересечения хорды $$AE$$ с построенной окружностью.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AEB$$.

Имеем:

• $$\angle A$$ — общий;
• $$\angle ADC=90^\circ$$, так как он опирается на диаметр $$AC$$;
• $$\angle AEB=90^\circ$$, так как он опирается на диаметр $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle ADC \sim \triangle AEB$$. Тогда

$$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{m}{n}.$$

Значит, точка $$D$$ делит хорду $$AE$$ в отношении $$m:n$$.

Так как хорда $$AE$$ была выбрана произвольно, то все точки, делящие все хорды с общим концом $$A$$ в отношении $$m:n$$, лежат на окружности с диаметром $$AC$$.

Ответ: искомое геометрическое место точек — окружность с диаметром $$AC$$, где $$C$$ лежит на диаметре $$AB$$ и $$AC:CB=m:n$$.