Упр.44 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите геометрическое место точек, которые делят в отношении m : n все хорды, имеющие своим общим концом данную точку окружности.

Проведём диаметр $$AB$$ и произвольную хорду $$AE$$.

На диаметре $$AB$$ отметим точку $$C$$ так, чтобы выполнялось отношение $$AC:CB=m:n$$.

Построим окружность с диаметром $$AC$$. Пусть она пересекает хорду $$AE$$ в точке $$D$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AEB$$.

У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle ADC=\angle AEB=90^\circ$$, так как эти углы опираются на диаметры $$AC$$ и $$AB$$ соответственно. Значит, $$\triangle ADC \sim \triangle AEB$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{AD}{DE}=\frac{AC}{CB}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно, точка $$D$$ делит хорду $$AE$$ в отношении $$m:n$$.

Так как хорда $$AE$$ выбрана произвольно, а через точку $$A$$ можно провести только один диаметр, то искомым геометрическим местом точек является окружность с диаметром, лежащим на луче $$AB$$ и удовлетворяющим условию $$AC:CB=m:n$$.

Ответ

Геометрическое место точек — окружность, построенная на диаметре $$AC$$, где точка $$C$$ делит диаметр $$AB$$ в отношении $$AC:CB=m:n$$.