Упр.44 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

8-44. Площадь основания конуса $$S$$, а образующие наклонены к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Найдите боковую поверхность конуса.

Площадь основания конуса равна $$S=\pi R^2,$$ значит

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$OSA$$ имеем $$\angle SAO=\alpha,$$ $$AO=R,$$ а образующая $$AS=l.$$ Тогда

$$\cos\alpha=\frac{AO}{AS}=\frac{R}{l},$$

откуда

$$l=\frac{R}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Боковая поверхность конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot \sqrt{\frac{S}{\pi}} \cdot \frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{S}{\pi}} =\pi \cdot \frac{S}{\pi}\cdot \frac{1}{\cos\alpha} =\frac{S}{\cos\alpha}.$$

Ответ: $$\frac{S}{\cos\alpha}.$$