Упр.44 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований $$Q_1$$ и $$Q_2$$ ($$Q_1>Q_2$$) и высотой $$h$$.

Дополним усечённую пирамиду до полной. Обозначим через $$x$$ высоту полной пирамиды, тогда высота отсечённой верхней пирамиды равна $$x-h$$.

Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов двух подобных пирамид:

$$V=\frac13Q_1x-\frac13Q_2(x-h).$$

Так как пирамиды подобны, то отношение их площадей оснований равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{Q_1}{Q_2}=\left(\frac{x}{x-h}\right)^2.$$

Отсюда

$$\frac{\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_2}}=\frac{x}{x-h},$$
$$x\sqrt{Q_2}=(x-h)\sqrt{Q_1},$$
$$x(\sqrt{Q_1}-\sqrt{Q_2})=h\sqrt{Q_1},$$
$$x=\frac{h\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_1}-\sqrt{Q_2}}.$$

Подставим это в формулу объёма:

$$V=\frac13\left(Q_1\cdot \frac{h\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_1}-\sqrt{Q_2}}-Q_2\left(\frac{h\sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_1}-\sqrt{Q_2}}-h\right)\right).$$

Упростим:

$$V=\frac13h\cdot \frac{Q_1\sqrt{Q_1}-Q_2\sqrt{Q_2}}{\sqrt{Q_1}-\sqrt{Q_2}}=\frac13h\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$

Ответ: $$V=\frac13h\left(Q_1+\sqrt{Q_1Q_2}+Q_2\right).$$