Упр.44 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Два равных шара радиуса $$R$$ расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Рассмотрим общее диаметральное сечение шаров. Линия пересечения их поверхностей в этом сечении изображается хордой, а в пространстве является окружностью.

Обозначим центры шаров через $$O_1$$ и $$O_2$$, а точки пересечения поверхностей — через $$A$$ и $$B$$. Пусть $$O_3$$ — точка пересечения прямой $$O_1O_2$$ с хордой $$AB$$. Тогда $$O_3A$$ — радиус искомой окружности.

Так как радиусы шаров равны $$R$$ и центр одного шара лежит на поверхности другого, то

$$O_1O_2=R.$$

Кроме того,

$$O_1A=O_2A=O_1B=O_2B=R,$$

значит, четырёхугольник $$AO_1BO_2$$ — ромб. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $$O_3A$$ — высота равнобедренного треугольника $$\triangle AO_1O_2$$.

В треугольнике $$AO_1O_2$$ имеем $$O_1A=O_2A=R$$ и $$O_1O_2=R$$, значит он равносторонний. Тогда высота равна

$$O_3A=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Искомая линия пересечения — окружность радиуса $$\frac{R\sqrt{3}}{2}$$, поэтому её длина равна

$$l=2\pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}=\pi R\sqrt{3}.$$

Ответ

$$\pi R\sqrt{3}$$