Упр.44 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Подробный ответ

Рассмотрим общее диаметральное сечение шаров. Линия пересечения их поверхностей в этом сечении является окружностью.

Обозначим центры шаров через $$O_1$$ и $$O_2$$, а точки пересечения поверхностей — через $$A$$ и $$B$$. Тогда $$O_1A=O_1B=O_2A=O_2B=R$$, значит четырёхугольник $$AO_1BO_2$$ — ромб.

Пусть $$O_3$$ — точка пересечения прямой $$O_1O_2$$ с хордой $$AB$$. Тогда $$O_3A$$ — радиус искомой окружности. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому $$O_3A$$ является высотой равнобедренного треугольника $$\triangle AO_1O_2$$.

Так как $$O_1O_2=R$$, то в прямоугольном треугольнике $$\triangle AO_1O_3$$:

$$ O_3A=\sqrt{O_1A^2-O_1O_3^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}. $$

Тогда длина линии пересечения равна длине окружности радиуса $$O_3A$$:

$$ l=2\pi \cdot O_3A =2\pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} =\pi R\sqrt{3}. $$