Упр.44 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой $$a$$. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\beta$$. Найдите высоту пирамиды.

Опустим перпендикуляр $$DK$$ к плоскости основания пирамиды.

Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\beta$$, то

$$\angle DAB=\angle DBC=\angle DCA=\beta.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$DAK$$, $$DBK$$ и $$DCK$$ равны по катету и острому углу, значит

$$AK=BK=CK.$$

Точка $$K$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Но $$\triangle ABC$$ прямоугольный, поэтому центр описанной окружности лежит на гипотенузе $$BC$$, а значит, $$K$$ — середина гипотенузы:

$$CK=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DCK$$ имеем

$$\tg\beta=\frac{DK}{CK},$$

откуда

$$DK=CK\cdot\tg\beta=\frac{a}{2}\tg\beta.$$

Ответ: $$\frac{a\tg\beta}{2}$$.