Упр.44 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Пусть точка $$A$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Опустим из неё перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\beta$$ и перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$c$$, по которой пересекаются плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. По условию

$$AB=2AA’.$$

Так как $$A’B \perp c$$, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая $$A’B$$ лежит в плоскости, перпендикулярной $$c$$. Следовательно, плоскость $$ABA’$$ перпендикулярна прямой $$c$$, а значит, угол $$\angle ABA’$$ равен углу между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ имеем

$$\sin \angle ABA’=\frac{AA’}{AB}=\frac{AA’}{2AA’}=\frac12.$$

Отсюда

$$\angle ABA’=\arcsin \frac12=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.