Упр.44 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 44. Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскости.

Пусть точка $$A$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Опустим из неё перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\beta$$ и перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$c$$, по которой пересекаются плоскости.

По условию $$AB=2AA’$$.

Так как $$A’B \perp c$$ по теореме о трёх перпендикулярах, то плоскость $$\triangle ABA’$$ перпендикулярна прямой $$c$$. Следовательно, угол $$\angle ABA’$$ равен углу между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$. Обозначим его через $$x$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ имеем:

$$ \sin x=\frac{AA’}{AB} $$

С учётом $$AB=2AA’$$ получаем:

$$ \sin x=\frac{AA’}{2AA’}=\frac{1}{2} $$

Отсюда

$$ x=30^\circ $$

Ответ

$$30^\circ$$