Упр.44 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 44. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.

Подробный ответ

Пусть $$SO$$ — перпендикуляр к плоскости, $$SO=1$$ м. Тогда углы между наклонными и перпендикуляром равны $$60^\circ$$, то есть

$$\angle ASO=\angle BSO=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SAO$$ и $$SBO$$. У них общий катет $$SO$$ и равные гипотенузы $$SA=SB$$, поэтому треугольники равны. Следовательно,

$$\angle SAO=\angle SBO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$

$$SO=SA\cdot \cos 60^\circ,$$

откуда

$$1=SA\cdot \frac12,$$

значит

$$SA=2\text{ м}.$$

Аналогично $$SB=2\text{ м}.$$

Так как наклонные перпендикулярны, то $$\angle ASB=90^\circ$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ASB$$

$$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ м}.$$