Упр.44 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние $$1\ \text{м}$$, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные $$60^\circ$$.

Пусть $$SO$$ — перпендикуляр к плоскости, тогда $$SO=1\text{ м}$$. По условию угол между каждой наклонной и перпендикуляром равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle ASO=\angle BSO=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SAO$$ и $$SBO$$. У них общий катет $$SO$$ и равные гипотенузы $$SA=SB$$, поэтому треугольники равны. Тогда

$$\angle SAO=\angle SBO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$

$$SO=SA\cdot \cos 60^\circ,$$

откуда

$$1=SA\cdot \frac12,$$

$$SA=2\text{ м}.$$

Аналогично $$SB=2\text{ м}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ASB$$. По условию $$SA\perp SB$$, значит он прямоугольный, и

$$AB=\sqrt{SA^2+SB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ м}.$$

Ответ: $$2\sqrt{2}\text{ м}.$$