Упр.43 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, получающихся при пересечении этих прямых.

Пусть данные прямые пересекаются в точке $$O$$. Проведём биссектрису одного из углов, образованных этими прямыми, и возьмём на ней произвольную точку $$A$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляры $$AB$$ и $$AC$$ к данным прямым. Тогда треугольники $$\triangle OBA$$ и $$\triangle OCA$$ прямоугольные, у них общая гипотенуза $$OA$$ и равны острые углы $$\angle BOA$$ и $$\angle AOC$$, так как $$OA$$ — биссектриса.

Следовательно, $$\triangle OBA \cong \triangle OCA$$, откуда $$AB=AC$$. Значит, точка $$A$$ равноудалена от данных прямых.

Обратно, если точка равноудалена от двух пересекающихся прямых, то расстояния от неё до этих прямых равны. Тогда она лежит на биссектрисе одного из углов, образованных этими прямыми, а также на биссектрисе вертикального угла.

Итак, геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, состоит из биссектрис углов, образованных этими прямыми.