Упр.43 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого $$\alpha$$ и $$\beta$$, радиус описанного круга $$R$$. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом $$\gamma$$.
Пусть $$\angle BAC=\alpha$$, $$\angle ABC=\beta$$. Опустим из вершины пирамиды $$S$$ перпендикуляр $$SO$$ на плоскость основания.
Так как все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одним углом $$\gamma$$, их проекции на основание равны. Значит, точка $$O$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть $$O$$ — центр описанной около треугольника $$ABC$$ окружности. Тогда $$OA=R$$.
В прямоугольном треугольнике $$AOS$$ имеем
$$\tan \gamma=\frac{SO}{OA}$$
откуда
$$SO=R\tan \gamma.$$
Найдём площадь основания. По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:
$$\frac{BC}{\sin \alpha}=\frac{AC}{\sin \beta}=\frac{AB}{\sin(\alpha+\beta)}=2R.$$
Следовательно,
$$BC=2R\sin \alpha,\qquad AC=2R\sin \beta,\qquad AB=2R\sin(\alpha+\beta).$$
Тогда
$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}$$
и после подстановки получаем
$$S_{ABC}=\frac{(2R\sin(\alpha+\beta))(2R\sin\beta)(2R\sin\alpha)}{4R}=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta).$$
Теперь объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot SO$$
$$V=\frac13\cdot 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\cdot R\tan\gamma.$$
Итак,
$$V=\frac23 R^3\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\tan\gamma.$$
