Упр.43 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого а и B, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у.

Подробный ответ

Пусть $$\angle BAC=\alpha$$ и $$\angle ABC=\beta$$. Опустим перпендикуляр $$SO$$ на плоскость основания.

Так как все боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом $$\gamma$$, их проекции на основание равны. Значит, точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, поэтому $$OA=R$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOS$$ имеем

$$\tan \gamma=\frac{SO}{OA}=\frac{SO}{R},$$

откуда

$$SO=R\tan \gamma.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$:

$$\frac{BC}{\sin \alpha}=\frac{AC}{\sin \beta}=\frac{AB}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}=2R.$$

Следовательно,

$$BC=2R\sin \alpha,\qquad AC=2R\sin \beta,\qquad AB=2R\sin(\alpha+\beta).$$

Тогда площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R} =\frac{(2R\sin(\alpha+\beta))(2R\sin\beta)(2R\sin\alpha)}{4R} =2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta). $$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$ V=\frac13 S_{ABC}\cdot SO =\frac13 \cdot 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha+\beta)\cdot R\tan\gamma. $$