Упр.43 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса $$ABCD$$, где $$\angle BAD=\alpha$$. Это сечение является также диаметральным сечением шара.

Так как шар вписан в усечённый конус, то в сечении окружность вписана в четырёхугольник $$ABCD$$. Следовательно, расстояния от центра шара $$O$$ до оснований равны радиусу шара, поэтому

$$OO_1=OO_2=R,$$

а значит, высота усечённого конуса

$$h=O_1O_2=2R.$$

Проведём $$BM\perp AD$$. Тогда $$BM=h=2R$$, и в прямоугольном треугольнике $$ABM$$

$$AB=\frac{BM}{\sin\alpha}=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов четырёхугольника, поэтому

$$\angle BAO=\frac{\alpha}{2}, \qquad \angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда треугольник $$ABO$$ прямоугольный, и

$$BO=AB\cdot \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{2R}{\sin\alpha}\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$BOO_1$$ находим радиус верхнего основания:

$$r_1=BO_1=\sqrt{BO^2-OO_1^2}=\sqrt{\left(\frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2-R^2}=R\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Так как отрезки касательных из одной точки равны, то $$BK=BO_1$$ и $$AO_2=AK$$. Поэтому радиус нижнего основания

$$r_2=AO_2=AK=AB-BK=AB-BO_1.$$

Подставим найденные значения:

$$ r_2=\frac{2R}{\sin\alpha}-R\tan\frac{\alpha}{2} =\frac{2R}{\sin\alpha}-\frac{R\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} =\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}}. $$

Образующая усечённого конуса равна

$$l=AB=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$