Упр.43 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Шар радиуса $$R$$ вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен $$a$$. Найдите радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно является равнобедренной трапецией, в которую вписана окружность радиуса $$R$$ — сечение шара.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r_1$$ и $$r_2$$, а образующую через $$l$$. Угол между образующей и плоскостью нижнего основания равен $$\alpha$$.

Так как окружность касается обоих оснований, расстояние между основаниями равно диаметру окружности:

$$h=2R.$$

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и её проекцией на основание, имеем

$$\sin\alpha=\frac{h}{l}=\frac{2R}{l},$$

откуда

$$l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$

Теперь найдём радиусы оснований.

Пусть $$O$$ — центр шара, $$O_1$$ и $$O_2$$ — точки касания с верхним и нижним основаниями. Тогда $$OO_1\perp$$ верхнему основанию и $$OO_2\perp$$ нижнему основанию, поэтому $$OO_1=OO_2=R$$.

В осевом сечении центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла при основании, значит

$$\angle BAO=\frac{\alpha}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABO$$:

$$BO=AB\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{2R}{\sin\alpha}\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда радиус верхнего основания

$$r_1=BO_1=\sqrt{BO^2-R^2}=\sqrt{\left(\frac{R}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2-R^2}=R\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Для нижнего основания используем, что касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Поэтому

$$r_2=AB-BO_1=l-r_1.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$r_2=\frac{2R}{\sin\alpha}-R\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Итак, радиусы оснований и образующая усечённого конуса равны:

$$r_1=R\tan\frac{\alpha}{2},\qquad r_2=\frac{R}{\tan\frac{\alpha}{2}},\qquad l=\frac{2R}{\sin\alpha}.$$