Упр.43 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?

Подробный ответ

Пусть грань $$DBC$$ перпендикулярна плоскости основания. Проведём в этой грани высоту $$DK$$ к ребру $$BC$$. Тогда $$DK$$ — высота пирамиды.

Проведём $$DM \perp AC$$ и $$DN \perp AB$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем:

$$KM \perp AC,\qquad KN \perp AB.$$

Следовательно, углы $$\angle DMK$$ и $$\angle DNK$$ равны $$\alpha$$ как линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием.

Из равенства прямоугольных треугольников $$\triangle DMK$$ и $$\triangle DNK$$ по катету и острому углу следует, что

$$MK=NK.$$

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$\angle C=\angle B=60^\circ$$. Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle MKC$$ и $$\triangle NKB$$ равны, откуда

$$KC=KB=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle CMK$$:

$$MK=KC\cdot \sin 60^\circ=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle CAK$$:

$$AK=AC\cdot \sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle DMK$$:

$$DK=MK\cdot \tg \alpha=\frac{a\sqrt{3}}{4}\tg \alpha.$$

Теперь найдём углы наклона боковых рёбер к плоскости основания.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle DCK$$:

$$\tg \angle DCK=\frac{DK}{KC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}\tg \alpha}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tg \alpha,$$

значит

$$\angle DCK=\angle DBK=\arctg\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\tg \alpha\right).$$