Упр.43 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом $$а$$. Как наклонены к плоскости основания боковые ребра?

Подробный ответ

Пусть боковая грань $$DBC$$ перпендикулярна плоскости основания. Тогда прямая $$DK$$, проведённая в этой грани перпендикулярно ребру $$BC$$, является высотой пирамиды.

Проведём в основании $$DM \perp AC$$ и $$DN \perp AB$$. По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$MK \perp AC$$ и $$NK \perp AB$$. Значит, $$\angle DNK=\angle DMK=\alpha$$, так как это линейные углы двугранных углов между боковыми гранями и основанием.

Из равенства прямоугольных треугольников $$\triangle DMK$$ и $$\triangle DNK$$ следует, что $$MK=NK$$.

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то $$\angle C=\angle B=60^\circ$$. Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle MKC$$ и $$\triangle NKB$$ равны, откуда $$KC=KB=\dfrac{a}{2}$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle CMK$$:

$$MK=KC\cdot \sin 60^\circ=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle DAK$$:

$$AK=AC\cdot \sin 60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2},$$

а в прямоугольном треугольнике $$\triangle DMK$$:

$$DK=MK\cdot \tg\alpha=\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha.$$

Теперь для угла наклона ребра $$DC$$ к плоскости основания рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle DCK$$:

$$\tg \angle DCK=\frac{DK}{KC}=\frac{\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt3}{2}\tg\alpha.$$

Следовательно,

$$\angle DCK=\arctg\!\left(\frac{\sqrt3}{2}\tg\alpha\right).$$

Для ребра $$DA$$ из прямоугольного треугольника $$\triangle DAK$$:

$$\tg \angle DAK=\frac{DK}{AK}=\frac{\frac{a\sqrt3}{4}\tg\alpha}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac12\tg\alpha,$$