Упр.43 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две плоскости пересекаются под углом $$30^\circ$$. Точка $$A$$, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от другой плоскости на расстояние $$a$$. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Пусть точка $$A$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Опустим из неё перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\beta$$, а из точки $$A$$ — перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$c$$, по которой пересекаются плоскости.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем $$A’B \perp c.$$

Значит, плоскость $$ABA’$$ перпендикулярна прямой $$c$$, а угол между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$ равен углу $$\angle ABA’ = 30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABA’$$ гипотенуза $$AB$$ выражается через противолежащий катет $$AA’=a$$:

$$\sin 30^\circ=\frac{AA’}{AB}$$
$$AB=\frac{AA’}{\sin 30^\circ}=\frac{a}{\frac12}=2a$$

Следовательно, расстояние от точки $$A$$ до прямой пересечения плоскостей равно $$2a.$$

Ответ

$$2a$$