Упр.43 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$SO$$ — перпендикуляр, опущенный из точки $$S$$ на плоскость. Тогда $$SO$$ — искомое расстояние от точки до плоскости.

Так как $$SA=SB=2\text{ м}$$ и угол между наклонными $$\angle ASB=60^\circ$$, то треугольник $$ASB$$ равносторонний. Следовательно,

$$AB=SA=SB=2\text{ м}.$$

Проекции наклонных равны, значит $$AO=OB$$. По условию $$AO\perp OB$$, поэтому треугольник $$AOB$$ — прямоугольный равнобедренный. Тогда

$$\angle OAB=\angle OBA=45^\circ.$$

Найдём $$AO$$:

$$ AO=AB\cos 45^\circ=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{ м}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOS$$. По теореме Пифагора:

$$ SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\text{ м}. $$