Упр.43 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной $$2\ \text{м}$$. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол $$60^\circ$$, а их проекции перпендикулярны.

Пусть $$SO$$ — перпендикуляр от точки $$S$$ к плоскости. Тогда $$SO \perp AB$$, а проекции наклонных $$SA$$ и $$SB$$ на плоскость равны $$OA$$ и $$OB$$ соответственно.

Так как $$SA=SB=2\text{ м}$$ и угол между наклонными $$\angle ASB=60^\circ$$, то треугольник $$ASB$$ равносторонний. Следовательно,

$$AB=SA=SB=2\text{ м}.$$

По условию проекции наклонных перпендикулярны, значит $$AO \perp OB$$. Кроме того, проекции равных наклонных, проведённых из одной точки, равны, поэтому

$$AO=OB.$$

Значит, треугольник $$AOB$$ — прямоугольный равнобедренный, и его гипотенуза

$$AB=AO\sqrt{2}.$$

Отсюда

$$AO=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}\text{ м}.$$

Ответ: $$\sqrt{2}\text{ м}$$.