Упр.42 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте четырехугольник $$ABCD$$ по сторонам $$AB$$, $$BC$$, диагонали $$AC$$ и углу между диагоналями, если известно, что он является вписанным в окружность.
Построим сначала треугольник $$ABC$$ по трём сторонам: отложим отрезок $$AB$$, затем проведём окружности с центрами в точках $$A$$ и $$B$$ радиусами соответственно $$AC$$ и $$BC$$. Их пересечение обозначим через $$C$$.
Далее опишем около треугольника $$ABC$$ окружность и в точке $$B$$ отложим угол $$\angle FBC=\alpha$$ от стороны $$BC$$.
Проведём через точку $$B$$ перпендикуляр к прямой $$BF$$ и серединный перпендикуляр к отрезку $$CB$$. Их пересечение обозначим через $$O_1$$. Тогда $$O_1C=O_1B$$, значит, окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$O_1C$$ проходит через точки $$B$$ и $$C$$. Кроме того, прямая $$BF$$ касается этой окружности в точке $$B$$.
Теперь отметим точку $$O$$ как точку пересечения этой окружности с диагональю $$AC$$. Проведём прямую $$BO$$ и обозначим через $$D$$ точку её пересечения с первой окружностью. Тогда $$O$$ — точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а
$$\angle COB=\frac{1}{2}\angle C\widehat{B}=\alpha.$$
Следовательно, построенный четырёхугольник $$ABCD$$ является искомым.
