Упр.42 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно l и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы а и B. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Опустим перпендикуляр $$SO$$ на плоскость основания. Так как все боковые рёбра пирамиды равны $$l$$, то точка $$O$$ — центр окружности, описанной около прямоугольника $$ABCD$$. Следовательно, $$O$$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Проведём перпендикуляры $$SF \perp CD$$ и $$SE \perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах имеем $$OF \perp CD$$ и $$OE \perp BC$$. В прямоугольнике $$OECF$$ получаем $$OF=EC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SCF$$. По условию угол между ребром $$SC$$ и стороной $$CD$$ равен $$\alpha$$, значит

$$SF=SC\sin\alpha=l\sin\alpha,$$
$$CF=SC\cos\alpha=l\cos\alpha.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$SCE$$ угол между $$SC$$ и $$BC$$ равен $$\beta$$, поэтому

$$CE=SC\cos\beta=l\cos\beta.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$SOF$$:

$$SO=\sqrt{SF^2-OF^2}.$$

Так как $$OF=EC$$, то

$$SO=\sqrt{l^2\sin^2\alpha-l^2\cos^2\beta}=l\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\beta}.$$

В равнобедренном треугольнике $$SCD$$ отрезок $$SF$$ является и высотой, и медианой, поэтому

$$CD=2CF=2l\cos\alpha.$$

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$SCB$$ имеем

$$BC=2CE=2l\cos\beta.$$