Упр.42 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 7-42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$l$$ и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы $$\alpha$$ и $$\beta$$. Найдите объём пирамиды.
Опустим перпендикуляр $$SO$$ на плоскость основания. Так как все боковые рёбра пирамиды равны $$l$$, то точка $$O$$ — центр окружности, описанной около прямоугольника $$ABCD$$. Значит, $$O$$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника.
Проведём перпендикуляры $$SF \perp CD$$ и $$SE \perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$OF \perp CD$$ и $$OE \perp BC$$. Следовательно, $$OECF$$ — прямоугольник, откуда $$OF=EC$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$SCF$$. Тогда
$$SF=SC\sin\angle SCD=l\sin\alpha,$$
$$CF=SC\cos\angle SCD=l\cos\alpha.$$
Аналогично в прямоугольном треугольнике $$SCE$$:
$$CE=SC\cos\angle SCB=l\cos\beta.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$SOF$$ по теореме Пифагора получаем
$$SO=\sqrt{SF^2-OF^2}=\sqrt{l^2\sin^2\alpha-l^2\cos^2\beta} =l\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\beta}.$$
Так как $$SF$$ — высота и медиана в равнобедренном треугольнике $$SCD$$, то
$$CD=2CF=2l\cos\alpha.$$
Аналогично в равнобедренном треугольнике $$SCB$$:
$$BC=2CE=2l\cos\beta.$$
Тогда площадь основания равна
$$S_{ABCD}=CD\cdot BC=2l\cos\alpha\cdot 2l\cos\beta=4l^2\cos\alpha\cos\beta.$$
Следовательно, объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot SO =\frac13\cdot 4l^2\cos\alpha\cos\beta\cdot l\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\beta}.$$
Итак,
$$V=\frac{4}{3}l^3\cos\alpha\cos\beta\sqrt{\sin^2\alpha-\cos^2\beta}.$$
