Упр.42 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 6-42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$. Найдите радиус шара $$R$$.

Пусть прямая касается шара в точке $$A$$, а точки $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры кругов сечений радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$.

Тогда $$OO_1 \perp O_1A$$ и $$OO_2 \perp O_2A$$, так как радиус окружности сечения перпендикулярен плоскости сечения. Кроме того, плоскости сечений взаимно перпендикулярны, значит $$O_1A \perp O_2A$$. Следовательно, четырехугольник $$OO_1AO_2$$ — прямоугольник.

Диагональ этого прямоугольника равна радиусу шара:

$$OA=R=\sqrt{AO_1^2+AO_2^2} =\sqrt{r_1^2+r_2^2}.$$

Ответ: $$R=\sqrt{r_1^2+r_2^2}$$.