Упр.42 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов r1 и r2. Найдите радиус шара R.

Подробный ответ

Пусть прямая касается шара в точке $$A$$, а $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры кругов сечений радиусов $$r_1$$ и $$r_2$$.

Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, значит

$$OO_1 \perp O_1A,\qquad OO_2 \perp O_2A.$$

По условию плоскости сечений взаимно перпендикулярны, следовательно, их следы в плоскости, проходящей через точки $$O, O_1, O_2, A$$, тоже перпендикулярны. Поэтому

$$\angle O_1AO_2=90^\circ,$$

и четырёхугольник $$OO_1AO_2$$ является прямоугольником.

Тогда диагональ $$OA$$ находим по теореме Пифагора:

$$OA=\sqrt{AO_1^2+AO_2^2}.$$

Но $$AO_1=r_1$$ и $$AO_2=r_2$$, а $$OA=R$$, значит

$$R=\sqrt{r_1^2+r_2^2}.$$