Упр.42 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами.

Пусть плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$a$$ и $$b$$ соответственно.

Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то прямые пересечения $$a$$ и $$b$$ параллельны, то есть $$a \parallel b$$.

Проведём в плоскости $$\gamma$$ прямую $$c$$, пересекающую прямые $$a$$ и $$b$$. Тогда углы между прямыми $$a$$ и $$c$$, а также между прямыми $$b$$ и $$c$$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$.

Но углы между плоскостями $$\gamma$$ и $$\alpha$$, а также $$\gamma$$ и $$\beta$$ измеряются углами между прямой $$c$$ и линиями их пересечения с плоскостью $$\gamma$$, то есть между $$c$$ и $$a$$, а также между $$c$$ и $$b$$. Следовательно, эти углы равны.

Итак, плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ под равными углами.