Упр.42 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 3-42. Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны $$a$$, $$b$$, $$c$$ ($$a

Обозначим вершины прямоугольника так, что $$AS\perp (ABCD)$$, а расстояния от точки $$S$$ до вершин $$B, C, D$$ равны соответственно $$a, c, b$$, где $$a<c$$ и $$b<c$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$SAD$$, $$SAB$$ и $$SAC$$ по теореме Пифагора получаем:

$$SD^2=SC^2-DC^2,$$
$$SB^2=SA^2+AB^2,$$
$$SC^2=SA^2+AC^2.$$

Так как в прямоугольнике $$AC^2=AB^2+BC^2$$, удобнее сначала найти стороны через прямоугольные треугольники с гипотенузами $$SB, SC, SD$$.

Из треугольника $$SCD$$:

$$DC=\sqrt{SC^2-SD^2}=\sqrt{c^2-b^2}.$$

Но в прямоугольнике $$DC=AB$$, значит

$$AB=\sqrt{c^2-b^2}.$$

Из треугольника $$SAB$$:

$$SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{a^2-(c^2-b^2)}=\sqrt{a^2+b^2-c^2}.$$

Из треугольника $$SBC$$:

$$BC=\sqrt{SC^2-SB^2}=\sqrt{c^2-a^2}.$$

Ответ: $$SA=\sqrt{a^2+b^2-c^2},\quad AB=\sqrt{c^2-b^2},\quad BC=\sqrt{c^2-a^2}.$$