Упр.41 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Превратите данный треугольник в равновеликий ему треугольник с тем же основанием и заданным углом при противолежащей вершине.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$b$$, параллельную отрезку $$AB$$. Тогда любая точка $$C’$$ на прямой $$b$$ образует с $$\triangle ABC$$ равновеликий треугольник $$ABC’$$, так как у них одно и то же основание $$AB$$ и равные высоты.

Теперь построим точку $$C’$$ так, чтобы угол при вершине $$C’$$ был равен заданному углу $$\alpha$$.

1. Через точку $$A$$ проведём луч $$AF$$ так, чтобы $$\angle FAB=\alpha$$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и перпендикуляр к $$AC$$ в точке $$A$$. Пусть они пересекутся в точке $$O$$.
3. Проведём окружность с центром $$O$$ и радиусом $$R=OA=OB$$. Тогда $$AB$$ — её хорда, а луч $$AF$$ является касательной к этой окружности, поэтому
   $$\angle AFB=2\angle DAB=2\alpha.$$
4. Точку $$C’$$ возьмём как точку пересечения прямой $$b$$ с построенной окружностью.

Так как угол $$\angle AC’B$$ — вписанный, опирающийся на дугу $$AB$$, то

$$\angle AC’B=\frac{1}{2}\angle AFB=\alpha.$$

Следовательно, треугольник $$ABC’$$ равновелик данному треугольнику $$ABC$$ и имеет угол при вершине $$C’$$, равный $$\alpha$$.