Упр.41 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Одно ребро треугольной пирамиды равно $$4\ \text{см}$$, каждое из остальных — $$3\ \text{см}$$. Найдите объем пирамиды.
Пусть ребро $$BC=4$$ см, а остальные рёбра пирамиды равны $$3$$ см. Тогда $$SA=SB=SC=3$$, значит, вершина $$S$$ равноудалена от точек $$A,B,C$$. Следовательно, проекция вершины $$S$$ на плоскость основания — это центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, обозначим его через $$O$$, и $$SO\perp (ABC)$$.
Найдём площадь основания по формуле Герона:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{3+4+3}{2}=5$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{5(5-3)(5-4)(5-3)} =\sqrt{5\cdot 2\cdot 1\cdot 2} =2\sqrt5$$
Радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$:
$$AO=R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}} =\frac{3\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 2\sqrt5} =\frac{9}{2\sqrt5}$$
В прямоугольном треугольнике $$SAO$$:
$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2} =\sqrt{3^2-\left(\frac{9}{2\sqrt5}\right)^2} =\sqrt{9-\frac{81}{20}} =\sqrt{\frac{99}{20}} =\frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt5}$$
Теперь найдём объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot SO =\frac13\cdot 2\sqrt5\cdot \frac{3\sqrt{11}}{2\sqrt5} =\sqrt{11}$$
Ответ: $$\sqrt{11}\ \text{см}^3$$.
