Упр.41 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 6-41. Диагонали ромба $$15\ \text{см}$$ и $$20\ \text{см}$$. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара $$10\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
Опустим из центра шара $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ к плоскости ромба. Тогда расстояние от центра шара до плоскости ромба равно $$OO_1$$.
Так как шар касается всех сторон ромба, то расстояния от точки $$O$$ до этих сторон равны радиусу шара:
$$OM=ON=OK=OE=10\text{ см}.$$
По теореме о трёх перпендикулярах отрезки $$O_1M$$, $$O_1N$$, $$O_1K$$, $$O_1E$$ также перпендикулярны сторонам ромба. Значит, $$O_1$$ — центр вписанной окружности ромба.
Найдём сторону ромба. Его диагонали равны $$15\text{ см}$$ и $$20\text{ см}$$, поэтому
$$AD=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+\left(\frac{20}{2}\right)^2}=\sqrt{7{,}5^2+10^2}=12{,}5\text{ см}.$$
Площадь ромба:
$$S=\frac12\cdot 15\cdot 20=150\text{ см}^2.$$
С другой стороны, если $$NE$$ — высота ромба, то
$$S=AD\cdot NE,$$
откуда
$$NE=\frac{150}{12{,}5}=12\text{ см}.$$
Так как $$O_1$$ — центр вписанной окружности, то он лежит посередине между параллельными сторонами ромба, значит
$$O_1E=\frac12\,NE=6\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$OO_1E$$ имеем
$$OO_1=\sqrt{OE^2-O_1E^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$
Ответ: $$8\text{ см}$$.
