Упр.41 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

Опустим перпендикуляр $$DH$$ к основанию пирамиды. Пусть $$DK \perp BC$$, $$DM \perp AC$$, $$DN \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах

$$HK \perp BC,\quad HM \perp AC,\quad HN \perp AB.$$

Так как боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, равные $$45^\circ$$, то

$$\angle DKH=\angle DMH=\angle DNH=45^\circ.$$

Следовательно, прямоугольные треугольники $$DKH$$, $$DMH$$ и $$DNH$$ равны по катету и острому углу, откуда

$$HK=HM=HN.$$

Значит, точка $$H$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$HK$$ — его радиус.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$. По формуле Герона:

$$ p=\frac{12+10+10}{2}=16, $$
$$ S=\sqrt{16\cdot(16-12)\cdot(16-10)\cdot(16-10)}=\sqrt{16\cdot4\cdot6\cdot6}=48. $$

Тогда

$$HK=r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DHK$$. Угол при точке $$K$$ равен

$$\angle DKH=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

значит, треугольник $$DHK$$ равнобедренный, и потому

$$DH=HK=3\text{ см}.$$

Ответ

$$3\text{ см}$$